Ik ben negen jaar en stuur oom Donald een kaart; die onderteken ik met 'Jan van Erp, Berlicum, Noord-Brabant, Nederland, Europa, wereld, zonnestelsel, heelal'.
We boffen toch maar! Het is toch zeker niet zómaar dat onze Aarde|Maan-stelsel een schaalmodel is van het Zonnestelsel als geheel? En dat dát weer veel weg heeft van het (natuurlijk veel grotere en daardoor gecompliceerdere, maar goed) Melkwegstelsel? En dat Melkwegstelsels als het onze groepen vormen, clusters? En dat elke galactische cluster maar een onderdeeltje lijkt te zijn van nóg veel grotere super-clusters?
En het is toch zeker niet zómaar dat de Aarde wordt bewoond door een levend geheel, een ecologisch weefsel dat bestaat uit allerlei soorten planten|dieren? En dat iedere soort daarvan bestaat uit diverse populaties, en die weer uit meerdere zwermen|kudden|roedels|scholen|horden|families, en die weer uit afzonderlijke individuen, en dat elk individueel geheel de optelsom is van een soms onmetelijk groot aantal delen, cellen, die zelf ook weer opgesplitst kunnen worden in eiwitten, enzymen en noem maar op, elk bestaande uit afzonderlijke moleculen, die op hun beurt...
En, hoe is het mogelijk!, precies halverwege al dat hele grote en al dat hele kleine... zitten wij. Dat is toch sterk.
Zeg nu zelf, het is toch zeker niet zómaar dat we onszelf het stralende centrum wanen van al die werelden in|om werelden die wij|ons kunnen onderscheiden?
Zolang je in 1-heden denkt, x je een universum dat 'bestaat' uit 'zelfstandige' elementen, die ieder een 'eigen' plekje van de 'ruimte' innemen. Maar zoda je oog begint te krijgen voor 2-heid, ga je onvermijdelijk glimpjes van Panta onderscheiden die niet zijn los te denken a) van het geheel waartoe ze behoren, en b) van de delen die hen vormen. 2-heid über Alles.
Je daarbij iets voorstellen valt mee, zeker als je in je bril|taal-collectie een bijzondere klasse van geometrische figuren inbouwt, die pas een generatie geleden is ontdekt. De 'heelheid' en de 'deelheid' van de figuren van deze categorie zijn onverbrekelijk verbonden. Daardoor herinneren ze onophoudelijk aan 2-heid; hun meest in het oog springende kenmerk is dus precies datgene waarvan we graag een helderder im|ex-pressie zouden willen [enz.] hebben.
Waarover heb ik het? Over fractals, natuurlijk.
Hoe groot is een sneeuwvlok? Hoe lang is een kustlijn? Mandelbrot (1924, IBM fellow aan het Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York) is al zijn hele leven bezig dat soort vragen te beantwoorden. Met als resultaat een volstrekt nieuwe tak van wiskunde: de fractale geometrie.
Mandelbrot zat in 1951 in de Parijse metro in een vakblad te bladeren, toen hij stuitte op een boekbespreking. Onderwerp was een nogal raar boek van ene George Kingsley Zipf (1902-1950); dat ging onder andere over het feit dat je bij sociale verschijnselen vaak kunt uitgaan van scaling, schaling - dat wil zeggen: het maakt merkwaardig weinig uit of je ze aan schaal-vergroting|verkleining onderwerpt. Daardoor geïnspireerd schreef Mandelbrot een artikel over de frequentie waarmee in een taal bepaalde woorden voorkomen.
In de jaren die volgden, ontwaarde hij ook op allerlei andere gebieden schaling. In de ruis die optreedt in elektronische circuits, bijvoorbeeld: dat was rond 1958, hij werkte toen pas bij IBM. Ook in de economie vond hij voorbeelden, maar ook op het gebied van turbulenties - stroomversnellingen en dergelijke - en in de biologie. Hij was iets op het spoor, besefte hij. Maar wat?
Ongeveer een eeuw geleden al hadden onder anderen de Duitse wiskundige Georg Cantor (1845-1918) en diens Franse collega Henri Poincaré (1854-1912) geworsteld met meetkundige vormen die ze als mathematische monsters beschouwden (zoals 'Cantor-stof', dat je krijgt door stukjes lijn oneindig vaak in drieën te verdelen - in De stoffige Spons laat ik je daar wat van zien). Een kwelling voor de wiskundige ziel! Maar gelukkig waren zulke krankzinnige figuren niet meer dan curiosa, dachten zelfs hun bedenkers. Rariteiten zonder betekenis.
Dát nu, zo ontdekte Mandelbrot, was een misvatting. Stapje voor stapje wist hij zowel Zipfs gedachte als de 'monsters' van Poincaré in te passen in een sluitend wiskundig raamwerk.
In 1973 kreeg Mandelbrot de kans een plotter te gebruiken om zijn kustlijn-formule in beeld te vertalen. "We zaten soms een hele nacht op één plaatje te wachten," vertelde hij later in het blad Omni. "Maar het eerste resultaat was verbijsterend: wat we zagen, leek Nieuw Zeeland wel!"
Iedereen was steeds met een boog om M.'s formules heen gelopen, maar aan zijn grafische weergaves daarvan viel niet te ontkomen: die waren echter dan echt.
Sindsdien leidt de computer-verbeelding een eigen leven - allemaal dank zij Mandelbrot, want die begreep direct dat deze aanpak dé manier was om complexe relaties in één oogopslag overtuigend duidelijk te maken. Relaties tussen formules onderling, en tussen formules en de werkelijkheid.
Waarschijnlijk mede doordat Martin Gardner in zijn rubriek 'Mathematical Games' (in Scientific American) een paar keer uitvoerig aandacht besteedde aan deze monster-renaissance, werd de fractal in een mum van tijd een rage. Ook mensen zonder wiskundeknobbel raakten geïntrigeerd - Mandelbrots per computer geschapen illustraties leken wel kunstwerken1.
Deze samenloop van omstandigheden alleen al heeft een moeilijk te onderschatten rol gespeeld bij de opmars van de personal computer in de jaren 1980. Opeens 'veranderde' dat apparaat van een grijze doos vol schakelaars, waar alleen een techneut mee overweg kon, in een wonderbaarlijk raam dat zelfs de techniet in|uit-zicht bood in|op een onvermoede, maar toch heel reële wereld - een bril voor de verbeelding, in plaats van een knutseldoos voor programmeurs.
De fractal-klassieker bij uitstek: de Mandelbrot-verzameling.
Bovendien biedt fractaal rekenen zeer praktische mogelijkheden, onder meer op het gebied van datacompressie, wat weer een conditio sine qua non is voor alle nieuwe media die dezer jaren over de wereld heen spoelen.
Maar laten we niet vergeten dat al deze nieuwigheid is te danken aan de vasthoudendheid van één man.
Een bekende 'oer-fractal' gaat schuil in de gulden snede, de 'goddelijke verhouding' tussen de lengten van twee lijnstukken, die al bekend was bij de oude Grieken en Romeinen: Euclides was de eerste die dit getal φ (phi) exact berekende. Van deze ratio is sprake bij een lijnstuk dat zodanig in twee stukken is verdeeld dat de lengte van het langste eind b, gelijk is aan de verhouding tussen het hele lijnstuk (a+b) en het lange gedeelte, a:
1En dit is nog maar één stukje van de 'gulden fractal'. Immers, je kunt je heel makkelijk een lijnstuk c voorstellen (dat staat niet op de tekening), waarin a+b als langste eind figureert - of, andersom, je zou a zó kunnen opsplitsen in een lijnstuk a1 en een lijnstuk a2 dat die zich op hun beurt tot elkaar verhouden... - okee, ik neem aan dat je raadt waar ik heen wil.
Hoe dan ook, deze bijzondere verhouding werd en wordt door de eeuwen heen en in tal van culturen als "prettig", "mooi", "aangenaam" ervaren. Vandaar dat er in de kunsten, met name in de bouwkunst, vaak gebruik van werd gemaakt.
Bijvoorbeeld door de bouwmeesters van de middeleeuwse gotische kathedralen. De centimeter was nog niet uitgevonden, dus deze archi-tecten hanteerden menselijke maten als duim, handpalm, spanwijdte van de vingers, el en voet. Die eenheden nu - is het geen wonder? - blijken zich steeds tot elkaar te verhouden volgens de gulden snede2.
En niet alleen menselijke ledematen houden zich aan deze gouden fractale wet, ook allerlei biologische vormen en verschijnselen lijken erdoor te zijn betoverd. Een twee-dimensionaal familielid van bovenstaande fraai verdeelde a+b-lijn is de spiraal van Fibonacci hieronder.
Als je meer van de rekensommen erachter wilt begrijpen, moet je maar elders kijken3. In elk geval snappen zonnebloemen blijkbaar precies aan wat voor wetten ze zich te houden hebben om op 'gulden' wijze hun zaadjes te verdelen:
En... het is óók van belang te onthouden dat er méér mannen - én vrouwen - als Mandelbrot zijn geweest. Veel meer.
Vandaar dat de titel van dit hoofdstuk, 'Mandelbrot et al.' is: al die 'alia' horen er óók bij, als ik mijn hoogstpersoonlijke Panta-prijzen zou moeten gaan uitreiken. Allemaal samen vormen zij de 'kennis-fractal' waaraan ik al wat ik nu weet of vermoed te danken heb: de figuur die in Pantacyclopedie de gedaante van et alweter heeft gekregen.
Ze stuk voor stuk bij name noemen zou te ver voeren - en er zijn boeken genoeg geschreven over alle visionaire geesten van past and present. Maar een paar van hen - diegenen met de duidelijkste sporen in dit boek - gun ik graag het volle licht van je aandacht:
$$$ Wordt nog uitgewerkt. $$$